امروز می خوام از اعداد جالب دیگری براتون بنویسم اعداد تام یا کامل

به مجموعه های زیر توجه کنید :

{4 ، 2 ، 1}مجموعه مقسوم علیه های 4

{6، 3 ، 2 ، 1}مجموعه مقسوم علیه های6

{12، 6 ، 4 ،3 ، 2 ، 1}مجموعه مقسوم علیه های 12

{17،1}مجموعه مقسوم علیه های 17

{28،14،7،4،2،1}مجموعه مقسوم علیه های 28

حال...

به مجموع مقسوم علیه های هر عدد بجز خودش توجه کنید :

3=2+1 ، مجموع مقسوم علیه های 4 بجز 4

6=3+2+1 مجموع مقسوم علیه های6 بجز 6

16=6+4+3+2+1، مجموع مقسوم علیه های12 بجز 12

1 ، مجموع مقسوم علیه های 17 بجز 17

28=14+7+4+2+1 مجموع مقسوم علیه های 28

ملاحظه می کنید که مجموع مقسوم علیه های هر عدد بجز خودش، می تواند کوچکتر از آن عددباشه مانند (4و17) ، برابر با آن عددباشه مانند (6و28) یا بزرگتر از آن باشه، مانند(12).

از بین اعداد فوق دو عدد6و28 اعدادکاملن،چون با مجموع مقسوم علیه های کوچکتر از خودشون برابرند.

اگر عددی با مجموع مقسوم علیه های کوچکتر از خودش برابر باشه،آن عدد را عدد کامل می‌گن.

نخستین دو عدد کامل (6 و 28 ) از زمانهای بسیار قدیم شناخته شده بودند . دو عدد کامل بعدی ( 496 و 8128 ) را اقلیدس پیدا کرد . پس از هزار و پانصد سال از زمان اقلیدس ، پنجمین عدد کامل (33550336)شناخته شد . تاکنون با استفاده از کامپیوتر های قوی و مجهز،ریاضیدانان تونستن در مجموع 24 عدد کامل را پیدا کنن. جالبه بدونید ، بیست و چهارمین عدد کامل بیش از دوازده هزار رقم دارد .

در مورد اعداد کامل دو پرسش اساسی وجود داره که تاکنون بدون پاسخ مانده است :

1- آیا مجموعه اعداد کامل ، متناهیه یا نامتناهی؟

2- آیا اعداد فرد کامل نیز وجود دارن یا خیر ؟

****

موضوع اعداد تام به روزگارباستان برمی‌گرده ودرطول‌تاریخ ویژگیهای مرموز بسیاری رو به اونا نسبت دادن.ریاضی دان های یونانی علاقه ی ویژه ای به اونها داشتن.

برای اینکه بریم تو دل اعداد تام به کمی مقدمه،یه کم حوصله و دقت نیاز داریم .اولین نکته اینه که بعضی از اعداد اول رو می شه به صورت2n-1نوشت. وحشت نکنید. فرار نکنید! الان توضیح می دم.بسیار ساده س فرض کنیم

n=2در این صورت مقدار عبارت2n-1برابر1-22 ودر نهایت عدد 3 خواهد شد.(3اوله پس این ادعا برایn=2بر قراره.یعنی به ازایn=2فرمول ما عدد اول تولید می کنه.)

حالا شمامی تونیدبه ازایn=2,3,4,5,6,7فرمول را کنترل کنید. خیلی راحت! یادتون باشه موقع مطالعه‌ی ریاضیات حتما یه قلم وکاغذ کنار دستتون باشه و هیچ نکته ای را بدون دلیل نپذیرید.هر جا ابهامی هست موضوع روبنویسید دوباره کنترل کنید.

برایn=3مقدارعبارت2n-1برابر7هست. 7=1-23

برایn=4 مقدارعبارت2n-1برابر15هست.(که به درد نمی خوره)اگه گفتین چرا؟

وبه ازای5n=مقدارعبارت2n-1برابر31هست31=1-25

وبه ازای6n=مقدارعبارت2n-1برابر63هست63=1- 26 (این هم بدرد بخور نیست)

وبه ازای7n=مقدارعبارت2n-1برابر127هست127=1-26

.

همونطورکه ملاحظه کردیدبه ازای n=2,3,7,5, فرمول ماعدد اول تولید می کنه

و برای6و n=4 اعداد15 و63 تولید می شن که اول نیست.

پس بعضی از اعداد اول به صورت2n-1هستند.به این اعداد می گن اعداد اول"مِرسِن". "مرسن" یه کشیش بودو این اعداد رو اون پیدا کرد.

که چی؟!این همه صغرا وکبری واسه‌‌‌‌‌ی چیه؟ اعداد مرسن به چه درد می‌خورن؟اینهاچه ربطی به اعدادتام دارن؟

نکته همین جاست.اعداد تام ارتباطی نزدیک با اعداد مرسن دارند.

قضیه اقلیدس

اگر اول2n-1باشد(2n-1)n-12 یک عددتام است.

حالا یه بررسی اولیه روی این ادعا انجام می دیم.(اینها روحتما بنویسیدو کنترل کنید)

برای2 n=مقدارعبارت2n-1برابر3هست و مقدار2n-1) ( n-12 برابربا6 است.

برای n=3مقدارعبارت2n-1برابر7هست و مقدار2n-1) ( n-12 برابربا28 است.

برای n=5مقدارعبارت2n-1برابر31هست ومقدار2n-1) ( n-12 برابر496است.

برای7n=مقدارعبارت2n-1برابر127هست و مقدار2n-1) ( n-12برابر 8128 است.و.....عجب! همشون تام هستن!

مثل اینکه این بابا اقلیدس هم یه چیزایی حالیش بوده.

اما یادتون باشه تا اینجای کار این فقط یه ادعاست.اینکه برای چن تا عدد این رابطه بر قراره دلیل نمی شه ما این ادعا رو قبول کنیم.

این قضیه اثبات زیبایی داره خیلی هم کوتاه و ساده اس.

اونایی که دوس دارن و اهل حال می تونن برن دنبالش.

یه نکته ی ظریف اینجا وجود داره

آیا همه ی اعداد تام الزامابه صورت2n-1) ( n-12 هستند.

به عبارت دیگه آیا عکس قضیه ی اقلیدس برقراره

2000سال طول کشید تا اویلر به این سوال پاسخ داد

قضیه اویلر

هر عدد تام زوج به صورت2n-1) ( n-12است که در آن2n-1اول است.

تقریبا تکلیف اعداد تام مشخص شد.

با این حساب هر عدد تام رو می تونیم به صورت2n-1) ( n-12 بنویسیم.

و اگه بتونیم عددی رو به صورت2n-1) ( n-12بنویسیم اون عدد تامه.

یعنی اگه عددتامی وجود داشته باشه به شکل فرمول بالاست و اگه عددی تو بتونه درفرمول بالا رو قرار بگیره اون یه عدد تام هست.

من عمدا کلمه ی زوج رو با قرمز نشون دادم.شما ممکنه بپرسید مگه عدد تام فرد هم وجود داره؟من نمی دونم.یعنی وجود نداره؟ بازم من نمی دونم. هیچکس نمی دونه!تا حالا هیچکس نتونسته یه عدد تام فرد رو ارائه بده. هیچکس هم نتونسته ثابت کنه عدد تام وجود نداره یا اینکه همه ی اعداد تام الزاما زوج هستن! اینم یکی از اون معماهای تاریخیه.مخصوص آدمهای فضول دوران ما و بعد از ما!!



* سه عدد تام زیر هزار داریم

6

28

496

+ یه شخصی که از من درخواست برنامه نویسی این را داشت

من فعلا یادم نمیاد نزدیک یه ساله ویژوال کار نکردم